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また,正規分布は平均と標準偏差が分かれば定まる分布だったので,視聴者のサンプルから,擬似的な平均（＝視聴率）と標準偏差（＝データのばらつき）を計算し（これは簡単に計算できる）,本来知りたい全体（関東１,６００万世帯）の視聴率の分布を得ることができます.これは驚くべき定理で,噛み砕いていうと,どんな分布に従っているか分からないデータでも,それらの平均値は,正規分布に従ってしまうというものです.視聴率とは,観ている人の平均でした.観た人が何人いるかの分布は分からなくても,その平均（＝視聴率）は正規分布に従っていると言えます.サンプルとして,適当に平均身長１７０cm,標準偏差5cmとして身長の分布を表してみます.ここで,多くのデータには発生する確率の分布というものがあります.以上のように,視聴率とはサンプルから計算された正規分布の95%信頼区間にあるだろうという計算なのですが,サンプルの数が増えれば増えるほど,当然サンプルの平均値も真の値に近づきます.==================================では具体的にどのくらいのサンプル数であれば,よいのかを計算してみます.よって,視聴率の誤差を\(\pm\)最大4%に抑えようとすると,次のようなサンプル数が必要ということがわかります.なので,全世帯を調査してそのうち見た人を集計すれば良いわけです.全ての世帯を調査しようとすると,お金も時間もかかってしょうがありません.よって,600世帯をサンプリングすれば,\(\pm\)最大4%で視聴率を計算することができるというわけです.正規分布を式で書くと,$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ここで,二次関数の最大値を考えると,\(\hat{p}(1-\hat{p}) \leq 0.25\)と評価することができます.このように,取ったサンプルによって,正規分布に違いが生じてしまいますが,95%の確率では,この区間の間に,真の平均値も入っているということです.$$誤差 \hat{p} -p = 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$$$\leq 1.96 \sqrt{\frac{0.25}{n}} \leq 0.04$$$$∴ n \geq \left( \frac{1.96×\sqrt{0.25}}{0.04}\right)^2 = 600.25$$数学研究そのものよりも,多くの偉人が残した人類の叡智ともいえる数学の美しさを深く理解したいと思い,日々数学をしております.その結果を自分の言葉でまとめて多くの人に知ってもらえれば幸いです.このような正規分布が得られます.ただしこの正規分布の平均値と標準偏差は,サンプルによって計算されたものです. 先の出口調査と比較すると、かなり標本数が少ないと思うことでしょう。推測統計的には、600サンプルで調査をした時のサンプリング誤差というものが、明確に定義されています。例えば視聴率が10％だったとしましょう。 調査のサンプル数が\(n\)であるとき、得られた視聴率が\(q\)であったとします。 このとき、得られた視聴率\(q\)が信頼区間95%以内に入っているためには、次の範囲に収まっていないといけません。 最終的に知りたいのは、何世帯調べればいいか、ですから、この調査世帯数をnと置きます。aに関して、統計学では0.95か0.99という数値がよく使われます。慣習のようなものですが、今回はこれを採用します。誤差がある範囲内に収まる確率は95%か99%のどちらかから選んでね、ということです。例えば、n=900であれば、a=0.95で±0.033の誤差がでるよ、という感じですね。ために必要な数の世帯を調査していて、それが900世帯だった、ということになります。精度を高められるのは「aの確率で」「±bの誤差」という2つですね。確率と誤差の範囲です。それぞれ、aとbと置きます。統計学について本気で学びたい人は初級の本を読んでもらうとして、ここでは結論だけ紹介します。900世帯調査において、一番誤差が大きくなりやすいのは、視聴率40~60%みたいですね。±3.3%です。ところで「半沢直樹」の最終回の視聴率は、42.2%と公表されています。あのドラマは2013年放送ですが、900世帯調査が始まった2016年以降に放送されていれば、その真の視聴率は、95%以上の確率で、42.2%±3.3%＝38.9%～45.5%の中に収まります。95%の確率でプラスマイナスの誤差3.3%なんて嫌だ！もっと精度を高めて欲しい！というあなたのために、じゃぁ何世帯調べればいいのよ、ということについて考えていきたいと思います。全世帯を調査していない以上、どうしても真の視聴率との差は生まれてしまいます。視聴率調査においては結論から言うとそれなりに高い精度でわかります。「それなりに高い精度」が何を意味するか、ピンと来ますでしょうか？今回は視聴率をマーケティングやプロモーションの分析に使っている方向けに、視聴率という数字をどの程度信用してよいのか、理論的に説明していきます。視聴率調査は、株式会社ビデオリサーチによって、関東世帯の900世帯に対して実施されています。調査対象世帯において、その番組が視聴されたかされていないか、正確に言うと、その番組が放送されているチャンネルが映っていたかいないかを調査しているわけですが、たった900世帯の調査で180万世帯のことなんてわかるんでしょうか？ということだからです。つまり、真の視聴率と調査世帯の視聴率はイコールにならないよ(誤差が出るよ)。だから、その誤差を小さくするよ。まれにその誤差が大きくなる可能性はあるけれど、95%以上の確率で、すごく小さな誤差に留めるよ！ということです。もし、調査世帯視聴率20%の番組の真の視聴率を、99%の確率で、±1%の誤差の範囲内に留めたいのであれば、下記の計算式を解くことになりまして、必要な調査世帯数は10,651世帯です。めちゃくちゃ増えましたね、めちゃくちゃ大変ですね！関東地域には約180万世帯あるわけですから、180万世帯全てを調査対象にすれば正確な視聴率が算出できます。ただ、調査に莫大なコストがかかりますから、全世帯を調査するなどやっていられません。ですから、全世帯＝母集団と同じような特徴を有しているであろう一部の世帯＝標本集団を調査し、「同じような特徴を有してるんだから、標本集団の調査結果＝母集団の調査結果だと言い張ろう」というのが視聴率を調査する側の主張です。リンク先を見ていただけるとわかりますが、調査世帯の視聴率毎に誤差の大きさが変わっています。900世帯調査だったらこれくらいの誤差、1,200世帯の調査だったらこれくらいの誤差、という具合であればいいのですが、そうは問屋がおろしません。これは、誤差がどの程度生じうるか、という計算式の中に、世帯視聴率が入っているからしょうがないんですね。視聴率の誤差がどの程度かは、ビデオリサーチのHPに記載があります。自ら誤差があることを説明してるなんて、真面目ですね。というものになります。回りくどいですが、統計学的に正確な表現をするとこうなります。いきなり統計用語が出てきましたが、マーケッターであれば「母集団」という単語はよく耳にすると思いますし、使っている方も多いと思います。視聴率調査においては、調査地域の全世帯が母集団、調査対象の900世帯が標本集団ということになります。視聴率を使って広告の効果測定をするマーケッターはそれなりに多いと思いますが、視聴率にはそれなりに誤差が生じることを念頭に置いて分析に取り掛かる方がよいと思います。ご自身が何か調査をするときも、この考え方は使えますので、応用して「どれくらいの精度にしたいのか」から逆算して、調査する標本数を決めるのも良いと思います。どのくらい正確な視聴率なのか、という質問には答えづらいものがあります。なぜなら、標本集団の視聴率を調査することでわかるのは、では、待望の計算式ですが、もう何も考えずに下記の式に代入してください。95%の確率であれば1.96、99%の確率であれば2.58のどちらかを選んでください。
また,正規分布は平均と標準偏差が分かれば定まる分布だったので,視聴者のサンプルから,擬似的な平均（＝視聴率）と標準偏差（＝データのばらつき）を計算し（これは簡単に計算できる）,本来知りたい全体（関東１,６００万世帯）の視聴率の分布を得ることができます.これは驚くべき定理で,噛み砕いていうと,どんな分布に従っているか分からないデータでも,それらの平均値は,正規分布に従ってしまうというものです.視聴率とは,観ている人の平均でした.観た人が何人いるかの分布は分からなくても,その平均（＝視聴率）は正規分布に従っていると言えます.サンプルとして,適当に平均身長１７０cm,標準偏差5cmとして身長の分布を表してみます.ここで,多くのデータには発生する確率の分布というものがあります.以上のように,視聴率とはサンプルから計算された正規分布の95%信頼区間にあるだろうという計算なのですが,サンプルの数が増えれば増えるほど,当然サンプルの平均値も真の値に近づきます.==================================では具体的にどのくらいのサンプル数であれば,よいのかを計算してみます.よって,視聴率の誤差を\(\pm\)最大4%に抑えようとすると,次のようなサンプル数が必要ということがわかります.なので,全世帯を調査してそのうち見た人を集計すれば良いわけです.全ての世帯を調査しようとすると,お金も時間もかかってしょうがありません.よって,600世帯をサンプリングすれば,\(\pm\)最大4%で視聴率を計算することができるというわけです.正規分布を式で書くと,$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ここで,二次関数の最大値を考えると,\(\hat{p}(1-\hat{p}) \leq 0.25\)と評価することができます.このように,取ったサンプルによって,正規分布に違いが生じてしまいますが,95%の確率では,この区間の間に,真の平均値も入っているということです.$$誤差 \hat{p} -p = 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$$$\leq 1.96 \sqrt{\frac{0.25}{n}} \leq 0.04$$$$∴ n \geq \left( \frac{1.96×\sqrt{0.25}}{0.04}\right)^2 = 600.25$$数学研究そのものよりも,多くの偉人が残した人類の叡智ともいえる数学の美しさを深く理解したいと思い,日々数学をしております.その結果を自分の言葉でまとめて多くの人に知ってもらえれば幸いです.このような正規分布が得られます.ただしこの正規分布の平均値と標準偏差は,サンプルによって計算されたものです. 先の出口調査と比較すると、かなり標本数が少ないと思うことでしょう。推測統計的には、600サンプルで調査をした時のサンプリング誤差というものが、明確に定義されています。例えば視聴率が10％だったとしましょう。 調査のサンプル数が\(n\)であるとき、得られた視聴率が\(q\)であったとします。 このとき、得られた視聴率\(q\)が信頼区間95%以内に入っているためには、次の範囲に収まっていないといけません。 最終的に知りたいのは、何世帯調べればいいか、ですから、この調査世帯数をnと置きます。aに関して、統計学では0.95か0.99という数値がよく使われます。慣習のようなものですが、今回はこれを採用します。誤差がある範囲内に収まる確率は95%か99%のどちらかから選んでね、ということです。例えば、n=900であれば、a=0.95で±0.033の誤差がでるよ、という感じですね。ために必要な数の世帯を調査していて、それが900世帯だった、ということになります。精度を高められるのは「aの確率で」「±bの誤差」という2つですね。確率と誤差の範囲です。それぞれ、aとbと置きます。統計学について本気で学びたい人は初級の本を読んでもらうとして、ここでは結論だけ紹介します。900世帯調査において、一番誤差が大きくなりやすいのは、視聴率40~60%みたいですね。±3.3%です。ところで「半沢直樹」の最終回の視聴率は、42.2%と公表されています。あのドラマは2013年放送ですが、900世帯調査が始まった2016年以降に放送されていれば、その真の視聴率は、95%以上の確率で、42.2%±3.3%＝38.9%～45.5%の中に収まります。95%の確率でプラスマイナスの誤差3.3%なんて嫌だ！もっと精度を高めて欲しい！というあなたのために、じゃぁ何世帯調べればいいのよ、ということについて考えていきたいと思います。全世帯を調査していない以上、どうしても真の視聴率との差は生まれてしまいます。視聴率調査においては結論から言うとそれなりに高い精度でわかります。「それなりに高い精度」が何を意味するか、ピンと来ますでしょうか？今回は視聴率をマーケティングやプロモーションの分析に使っている方向けに、視聴率という数字をどの程度信用してよいのか、理論的に説明していきます。視聴率調査は、株式会社ビデオリサーチによって、関東世帯の900世帯に対して実施されています。調査対象世帯において、その番組が視聴されたかされていないか、正確に言うと、その番組が放送されているチャンネルが映っていたかいないかを調査しているわけですが、たった900世帯の調査で180万世帯のことなんてわかるんでしょうか？ということだからです。つまり、真の視聴率と調査世帯の視聴率はイコールにならないよ(誤差が出るよ)。だから、その誤差を小さくするよ。まれにその誤差が大きくなる可能性はあるけれど、95%以上の確率で、すごく小さな誤差に留めるよ！ということです。もし、調査世帯視聴率20%の番組の真の視聴率を、99%の確率で、±1%の誤差の範囲内に留めたいのであれば、下記の計算式を解くことになりまして、必要な調査世帯数は10,651世帯です。めちゃくちゃ増えましたね、めちゃくちゃ大変ですね！関東地域には約180万世帯あるわけですから、180万世帯全てを調査対象にすれば正確な視聴率が算出できます。ただ、調査に莫大なコストがかかりますから、全世帯を調査するなどやっていられません。ですから、全世帯＝母集団と同じような特徴を有しているであろう一部の世帯＝標本集団を調査し、「同じような特徴を有してるんだから、標本集団の調査結果＝母集団の調査結果だと言い張ろう」というのが視聴率を調査する側の主張です。リンク先を見ていただけるとわかりますが、調査世帯の視聴率毎に誤差の大きさが変わっています。900世帯調査だったらこれくらいの誤差、1,200世帯の調査だったらこれくらいの誤差、という具合であればいいのですが、そうは問屋がおろしません。これは、誤差がどの程度生じうるか、という計算式の中に、世帯視聴率が入っているからしょうがないんですね。視聴率の誤差がどの程度かは、ビデオリサーチのHPに記載があります。自ら誤差があることを説明してるなんて、真面目ですね。というものになります。回りくどいですが、統計学的に正確な表現をするとこうなります。いきなり統計用語が出てきましたが、マーケッターであれば「母集団」という単語はよく耳にすると思いますし、使っている方も多いと思います。視聴率調査においては、調査地域の全世帯が母集団、調査対象の900世帯が標本集団ということになります。視聴率を使って広告の効果測定をするマーケッターはそれなりに多いと思いますが、視聴率にはそれなりに誤差が生じることを念頭に置いて分析に取り掛かる方がよいと思います。ご自身が何か調査をするときも、この考え方は使えますので、応用して「どれくらいの精度にしたいのか」から逆算して、調査する標本数を決めるのも良いと思います。どのくらい正確な視聴率なのか、という質問には答えづらいものがあります。なぜなら、標本集団の視聴率を調査することでわかるのは、では、待望の計算式ですが、もう何も考えずに下記の式に代入してください。95%の確率であれば1.96、99%の確率であれば2.58のどちらかを選んでください。